5.2 Nucleo e imagen de una transformacion lineal

Transformaciones lineales: núcleo e imagen.

Teorema  1

Sea T: V S W una transformación lineal. Entonces para todos los vectores u, v, v1,

v2, . . . , vn en V y todos los escalares a1, a2, . . . , an:

i. T(0) = 0

ii. T(u - v) = Tu - Tv

iii. T(a1v1 + a2v2 +. . .+ anvn) = a1Tv1 + a2Tv2 +. . .+ anTvn

Nota. En la parte i) el 0 de la izquierda es el vector cero en V; mientras que el 0 de la

derecha es el vector cero en W.

Teorema 2

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base B = {v1, v2, . . . , vn}. Sean w1,

w2, . . . , wn vectores en W. Suponga que T1 y T2 son dos transformaciones lineales de V

en W tales que T1vi = T2vi = wi para i = 1, 2, . . . , n. Entonces para cualquier vector v ∈

V, T1v = T2v; es decir T1 = T2.