La matriz forma una parte esencial, no sólo de las matemáticas, sino también de la vida, en el caso de un ingeniero u otra persona que se haya asociado con las matemáticas. Encontrar el inverso de una matriz constituye una parte crucial en el concepto de matriz. Una matriz sin su inverso no está completa. El inverso de una matriz puede definirse como: Dado una matriz n × n elemental E, uno puede observar fácilmente que existe una matriz elemental F tal que F E = In. Reflexionando un poco se concluirás que EF = In . Realizando una operación de fila y luego deshaciéndola produce el mismo resultado que deshacerla primero y realizarla después. De cualquier manera estás de nuevo en el punto de partida. Este concepto se denomina inverso de una matriz.
En otras palabras, imaginemos dos n × n matrices A y B , estas tienen la propiedad AB = BA = In. . Entonces decimos que A es un inverso de B (y B es un inverso de A). Se dice que una matriz con inverso es invertible. Además, el inverso de una matriz siempre es único.
Imagina que que A Rn×n o A (F2) n×n y A tiene un inverso B. Entonces B es único. Comprobemos este hecho. Imagina que A tiene dos inversos B y C. Entonces,
B = BIn = B (AC) = (BA) C = InC = C.
En consecuencia B = C, por lo que el inverso es único. El inverso de A siempre se denota como A-1, con la condición de su existencia.
Por ejemplo, los inversos de las matrices elementales 2 × 2 son los siguientes:
Tenemos dos formas de encontrar el inversa de una matriz, tal que BA = In. La primera es simplemente multiplicar la secuencia de matrices elementales, lo cual reduce la fila A. Esto no es tan malo como parece, ya que la multiplicación de matrices elementales es esencial. El segundo método consiste en formar la matriz aumentada (A | In) y la fila reducirá. El resultado final será de la forma (In | B).
Veamos un ejemplo para entender mejor el concepto. Imaginemos que queremos encontrar una relación inversa para:
A = 
Dado que sólo tenemos que resolver la ecuación matricial XA = I3, podemos reducir la fila (A | I3).
Entonces, por construcción BA = I3.
Existe una tercera técnica menos evidente la cual a veces también es útil. Si formamos la matriz de coeficiente aumentada (A | b), donde b representa el vector columna con los componentes b1, b2 . . . b m y efectuando la reducción de filas de esta matriz aumentada, el resultado será en la forma (In | c), donde los componentes de c son combinaciones lineales de los componentes de b. Los coeficientes de estas combinaciones lineales nos dan las entradas de A-1.
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