2.7 Propiedades de los determinantes

 Los Determinantes tienen una aplicación en casi todos los conceptos de las Matemáticas. El cálculo del determinante puede hacerse para los valores de las filas y las columnas de una matriz, con la ayuda de expresiones aritméticas. Las propiedades de los determinantes nos ayudan a simplificar el cálculo de los determinantes de cualquier orden, tomando el número máximo de ceros en una fila o una columna. De acuerdo con la primera propiedad de los determinantes, el valor de los determinantes se mantiene constante si sus filas y columnas son intercambiados. 

Ejemplo

Si se multiplican todos los elementos de una línea de una matriz cuadrada por un número, el determinante queda multiplicado por dicho número.

det (k·L1, L2, L3...) = k·det (L1, L2, L3...)

Ejemplo

Si A y B son dos matrices cuadradas del mismo orden, entonces se verifica:

det (A·B) = det (A) · det (B)

Ejemplo

Si permutamos dos líneas paralelas de una matriz cuadrada, su determinante cambia de signo con respecto al inicial:

det (L1, L2, L3...) = -det (L2, L1, L3...)

Ejemplo

Si una matriz cuadrada tiene una línea con todos los elementos nulos, su determinante vale cero.

det (0, L2, L3...) = 0

Ejemplo

Si una matriz cuadrada tiene dos líneas paralelas iguales, su determinante vale cero.

det (L1, L1, L3...) = 0

Ejemplo

Si dos líneas paralelas de una matriz cuadrada son proporcionales, su determinante se anula.

det (L1, k·L1, L3...) = 0

Ejemplo

Si una fila (columna) de una matriz cuadrada es combinación lineal de las restantes filas (columnas), su determinante vale cero.

det (L1, L2, a·L1 + b·L2...) = 0