2.4 Transformaciones elementales por renglon , escalonamiento de una matriz y rango de una matriz.

TRANSFORMACIONES ELEMENTALES DE RENGLÓN.

En sistemas de ecuaciones lineales podemos realizar los siguientes operaciones.

1.   Intercambiar una ecuación por otra

2.   Multiplicar una ecuación por una constante no nula

3.   Sumar dos ecuaciones (o restar)

4.   Multiplicar una ecuación por una constante y el producto sumarlo

      a otra   de las ecuaciones.

Estas operaciones hechas con las ecuaciones son con el objetivo de formar “Sistemas Equivalentes” al sistema dado que tiene la misma solución que el sistema original y cuya solución sea mas fácil de obtener.

Las mismas operaciones hechas a las “Ecuaciones” se pueden realizar en las matrices sobre los “Renglones” siendo conocidas con el nombre de transformaciones elementales de renglón de una matriz y son los siguientes.

TRANSFORMACIONES ELEMENTALES DE RENGLÓN

1.       Intercambio de dos renglones

2.       Multiplicación de todos los elementos de un renglón por una constante distinta de cero

3.       Multiplicación de un renglón por una constante no nula y el producto sumarlo al correspondiente elemento de cualquier otro renglón.

La idea que se persigue con las transformaciones elementales es convertir una matriz concreta en

otra matriz mas facil de estudiar. En concreto, siempre sera posible conseguir una matriz escalonada, 

en el sentido que definimos a continuacion. Sea A una matriz y F una fila de A. Diremos que F es nula si todos los numeros de  F coinciden

con el cero. Si F es no nula, llamamos PIVOTE de F al primer numero distinto de cero  de  F contando de izquierda a derecha.

Una MATRIZ ESCALONADA es aquella que verifica las siguientes propiedades: 

1. Todas las filas nulas (caso de existir) se encuentran en la parte inferior de la matriz.

2. El pivote de cada fila no nula se encuentra estrictamente mas a la derecha que el pivote de la fila de encima.

Por ejemplo, entre las matrices:

A =   1 0 0             B= 1 4 3       C= 1 0 -3

        0 1 0                 0 1 8            0 1  4

        0 1 7                                     0 0 0

A no es escalonada, mientras que B y C sı lo son.

Dada una matriz escalonada E se define el RANGO de E, que representamos por rg(E), como el nnumero de filas no nulas de E.

En los ejemplos B y C de arriba se tiene rg(B) = rg(C) = 2, sin embargo no podemos decir que rg(A) = 3 ya que A no esta escalonada. Otro ejemplo, las matrices nulas tienen rango cero y la matriz identidad de orden n cumple rg(In) = n.

La siguiente cuestion que abordaremos es la definicion de rango para una matriz cualquiera que no este escalonada. La idea ser la la de transformar la matriz dada en otra que sea escalonada mediante

Si A es cualquier matriz, entonces una SUB MATRIZ de A es cualquier matriz S obtenida al eliminar

de A algunas de sus filas y columnas. Por ejemplo, la matriz Ai j obtenida al suprimir la i-esima fila y la j-esima columna es una submatriz de  A. Notese que aunque A no sea cuadrada contiene gran cantidad

de submatrices que sı lo son y a las que tiene por tanto sentido calcularles su determinante.