4.3 Combinacionlineal. Independencia lineal

Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por escalares.
Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros que tengan distinta dirección.
Esta combinación lineal es única.
Sean v₁,v₂,…,v_n vectores en un espacio vectorial V. Entonces cualquier vector de la forma:

α₁v₁+α₂v₂+…+α_nv_n

donde α₁v₁+α₂v₂+…+α_nv_n son escalares se denomina combinación lineal de v₁,v₂,…,v_n. 

Todo vector V = (a, b, c) en R³ se puede expresar como
i = (1,0,0); j = (0,1,0); k =(0,0,1)

V = (a, b, c) = a(i) + b(j) + c(k)

Entonces se dice que V es una combinación lineal de los 3 vectores i,j,k.

Criterios de Independencia Lineal

Sean u₁, u₂, …,u_k k vectores en R_n y A la matriz que tiene como columnas a estos vectores, los vectores son linealmente independientes si el sistema Ax = 0 tiene únicamente solución trivial.
Los vectores son linealmente dependientes si el sistema Ax=0 tiene soluciones no triviales (solución múltiple).

Si k=n
Los vectores son linealmente independientes si A es invertible

Si k>nLos vectores son linealmente dependientes.

Dos vectores en un espacio vectorial son linealmente dependientes si uno de ellos es múltiplo escalar del otro.

Un conjunto de vectores linealmente independientes en n contiene a lo más n vectores.

Tres vectores en 3 son linealmente dependientes si y sólo si son coplanares, esto es, que están en un mismo plano.