5.4 Aplicacion de las transformaciones lineales:Reflexion , dilatacion, contraccion , y rotacion.

TRANSFORMACIONES LINEALES Y MATRICES 

Comenzamos definiendo una tranformación lineal. Ejemplos típicos son la derivada y la integral, al igual que lasproyecciones. Definimos el kernel y rango de una transformación lineal T : V  ® W y los denotamos por N(T) y R(T) respectivamente. Es un ejercicio verificar que N(T) £ V y R(T) £ W. Definimos nulidad(T) = dim(N(T)) y rango(T) = dim(R(T)). TEOREMA 2.1 Si T : V  ® W es una transformación lineal, entonces V es dimensionalmente finito si y sólo si N(T) yR(T) son dimensionalmente finitos, y en este caso, dim(V) = nulidad(T) + rango(T). Demostración Dados dos espacios vectoriales V y W sobre un campo F, definimos L(V, W) = {T : V ® W | T es una transformación lineal}. Si T, U Î L(V, W) y a Î F, definimos aT + U : V ® W como (aT + U)(x) = aT(x) + U(x) para toda x Î F. Es un ejercicio verificar que aT + U es una transformación lineal y que L(V, W), junto con estas operaciones de suma y de multiplicación por escalares, es un espacio vectorial sobre F. Definimos el que una función fuera inyectiva, sobre y biyectiva. Es un ejercicio demostrar que para una transformación lineal T : V ® W, las siguientes condiciones son equivalentes: T es inyectiva N(T) = {0} (es decir, nulidad(T) = 0) Para todo S ê V, S es linealmente independiente si y sólo si T(S) ê W es linealmente independiente También se deja como ejercicio el verificar que si V y W son dos espacios vectoriales con la misma dimensión (finita) y T : V ® W es una transformación lineal, entonces T es inyectiva o sobre si y sólo si es biyectiva. Una transformación lineal es una función que preserva la estructura algebraica de espacio vectorial, por lo que no toda función entre espacios vectoriales es una transformación lineal. De hecho, es sencillo encontrar funciones inyectivas, sobre, y biyectivas que no son transformaciones lineales. Esto motiva las definiciones de monomorfismo,epimorfismo e isomorfismo. LEMA 2.2 Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un campo F. Supongamos que V es dimensionalmente finito y que b = {x1, ..., xn} es una base de V. Entonces para todo {y1, ..., yn} í W, existe una unica transformación lineal T : V® W tal que T(xi) = yi para toda i = 1, ..., n. Demostración TEOREMA 2.3 En la categoría de los espacios vectoriales dimensionalmente finitos, la dimensión es un invariante completo de isomorfismo. Es decir, para cualesquiera dos espacios vectoriales dimensionalmente finitos V y W sobre un campo F, existe un isomorfismo entre V y W si y sólo si dim(V) = dim(W). Demostración Sea V un espacio vectorial dimensionalmente finito sobre un campo F y sea b = (x1, ..., xm) una base ordenada de V. Para cada x Î V, existen escalares únicos a1, ..., am Î F tales que x = a1x1 + ... + amxm. Definimos al vector coordenado de x relativo a b como [ x ]b = ( a1 : am ), Es fácil ver que el mapeo x |® [ x ]b constituye un isomorfismo ç : V ® Mn x 1(F). Sean V y W dos espacio vectoriales dimensionalmente finitos sobre un campo F, b = {x1, ..., xm} una base ordenada de V y g = {y1, ..., xn} una base ordenada de W. Para cada T Î L(V, W), definimos la matriz asociada a T con respecto a las bases ordenadas b y g como [T] g b = ( [T(x1)]g ... [T(xm)]g ). Por otro lado, dada una matriz A Î Mn x m(F), la función LA : Fm ® Fn definida por LA(x) = Ax, es una transformación lineal (ejercicio). TEOREMA 2.4 Sean V y W dos espacio vectoriales dimensionalmente finitos sobre un campo F, b = {x1, ..., xm} una base ordenada de V y g = {y1, ..., yn} una base ordenada de W. Entonces el mapeo T |® [T]bg constituye un isomorfismo F : L(V, W) ® Mn x m(F). Más aún, para toda A Î Mn x m(F), se tiene que F-1(A) Î L(V, W) es tal que [F-1(A)]bg = A. Demostración Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un campo F. Si T Î L(V, W), entonces existe una matriz asociada a T por cada par de bases ordenadas b y g de V y W respectivamente. El siguiente teorema (cambio de coordenadas) establece la relación entre estas matrices.h TEOREMA 2.5 Sean V y W dos espacio vectoriales dimensionalmente finitos sobre un campo F. Si b, b' son dos bases ordenadas de V y g g' son dos bases ordenadas de W, entonces existe una matriz invertible Q tal que . Entonces el mapeo T |® [T]bg constituye un isomorfismo F : L(V, W) ® Mn x m(F). Más aún, para toda A Î Mn x m(F), se tiene queF-1(A) Î L(V, W) es tal que [F-1(A)]bg = A.

5.3 La matriz de una transformacion lineal

Si bien las transformaciones lineales pueden estudiarse sin hacer referencia alguna a las bases de los espacios dominio y codominio, un cálculo efectivo de las mismas exige el conocimiento de dichas bases.

Cualquier transformación lineal T: V ® W puede representarse mediante una matriz: T(x) = A x. La matriz A dependerá de las bases elegidas para V y W. La matriz de una transformación lineal queda determinada cuando se conocen una base ordenada de V, una base ordenada de W y los transformados de la base de V, en la base de W.

Supongamos que el espacio V tiene una base {v₁, ..., v_n} y el espacio W tiene una base {w₁, ..., w_m}. Entonces cualquier transformación lineal de V en W se representa por una matriz A _{m x n}.

Si T (v_i ) = a_i1 w₁ + .... + a_im w_m, entonces la columna i de A es (a_i1 .... a_im )^T

Supongamos que en el plano x-y la transformación de matriz A lleva a cada vector a su reflejo tomando como espejo el eje x, y la transformación de matriz B lleva a cada vector a su simétrico respecto del origen. Encontrar las matrices A y B, usando como base de R2el conjunto {(1, 0), (0, 1)}. a) ¿ Matriz A?         Transformado de (1, 0) = (1, 0)         Transformado de (0, 1) = (0, -1)        Entonces la matriz la matriz de la transformación es:  b) ¿ Matriz B?         Transformado de (1, 0) = (-1, 0)         Transformado de (0, 1) = (0, -1)      Entonces la matriz la matriz de la transformación es:   Encontrar A3x5 asociada a la transformación lineal P5 ® P3 / T (P(t)) = d2 P(t) /dt2, transformando P5 en P3 (polinomios de grado ≤ 4 en polinomios de grado ≤ 2). Base en P5: {1, t, t2, t3, t4}. Base en P3: {1, t, t2}      Transformado de (1, 0, 0, 0, 0) = ( 0, 0, 0)      Transformado de (0, 1, 0, 0, 0) = ( 0, 0, 0)      Transformado de (0, 0, 1, 0, 0) = ( 2, 0, 0)      Transformado de (0, 0, 0, 1, 0) = ( 0, 6, 0)      Transformado de (0, 0, 0, 0, 1) = ( 0, 0, 12)  Entonces la matriz la matriz de la transformación es:

5.2 Nucleo e imagen de una transformacion lineal

Transformaciones lineales: núcleo e imagen.

Teorema  1

Sea T: V S W una transformación lineal. Entonces para todos los vectores u, v, v1,

v2, . . . , vn en V y todos los escalares a1, a2, . . . , an:

i. T(0) = 0

ii. T(u - v) = Tu - Tv

iii. T(a1v1 + a2v2 +. . .+ anvn) = a1Tv1 + a2Tv2 +. . .+ anTvn

Nota. En la parte i) el 0 de la izquierda es el vector cero en V; mientras que el 0 de la

derecha es el vector cero en W.

Teorema 2

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base B = {v1, v2, . . . , vn}. Sean w1,

w2, . . . , wn vectores en W. Suponga que T1 y T2 son dos transformaciones lineales de V

en W tales que T1vi = T2vi = wi para i = 1, 2, . . . , n. Entonces para cualquier vector v ∈

V, T1v = T2v; es decir T1 = T2.

5.1 Introduccion a las transformaciones lineale

Definición: Las transformaciones lineales son las funciones y tratan sobre K-espacios vectoriales que son compatibles con la estructura (es
decir, con la operación y la acción) de estos espacios.

Aquí se presentan las funciones entre espacios vectoriales que preservan las cualidades de los
espacios vectoriales. Es decir, de funciones que preservan la suma y la multiplicación por escalares.

Nosotros usaremos el concepto de la función para darle un tratamiento a los sistemas de ecuaciones lineales. La restricción que haremos sera sobre el tipo de funciones: solo estaremos interesados en funciones que preserven las operaciones en el espacio vectorial. Este tipo de funciones serán llamadas funciones lineales. Primeramente las definiremos, veremos algunas propiedades generales y después veremos como se aplican estos resultados a sistemas de ecuaciones.

Sean V y W dos espacios vectoriales posiblemente iguales.
 Una transformación lineal o mapeo lineal de V a W es una función
T : V → W tal que para todos los vectores u y v de V y cualquier escalar c:
         a) T (u + v) = T (u) + T (v)
         b) T (c u) = c T (u)

Demuestre que la transformación T : R2 →R2 definida por                        

es lineal. 
                   

                  

              

Una transformación lineal preserva combinaciones lineales. Veremos que, debido a esto, una transformación lineal queda unívoca-mente determinada por los valores que toma en los elementos de una base cualquiera de su dominio.

4.6 Base ortonormal , proceso de ortonormalizacion de Gram-Schmidt

Un conjunto S de vectores en un espacio V con producto interior se llama ortogonal si todo par de vectores en S es ortogonal, además cada vector en este conjunto es unitario, entonces S se denomina ortonormal. 

Proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt

1.       Sea B = {v₁, v₂, . . ., v_n} una base de un espacio V con producto interno 

2.      Sea B´= {w₁, w₂, . . ., w_n} donde w_i está dado por:

w₁= v₁

 

Entonces B´ es una base ortogonal de V.

3.      Sea u_i= w_{i ││}w_1││ entonces el conjunto B´´={ u₁, u₂, . . ., u_n} es una base ortonormal de V.

Ejemplo: Forma alternativa del proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt

Determine una base ortonormal del espacio solución del siguiente sistema homogéneo de ecuaciones lineales 

w+ x +           z= 0

2w+x + 2y+ 6z=0

Solución: La matriz aumentada se reduce como se sigue.

4.5 Espacio vectorial

Producto Interno:

Un producto interno sobre un espacio vectorial V es una operación que asigna a cada par de vectores u y v en V un número real <u, v>.

Un producto interior sobre V es una función que asocia un número real ‹u, v› con cada par de vectores u y v cumple los siguientes axiomas:

Propiedades:

i. (v, v) ≥ 0

ii. (v, v) = 0 si y sólo si v = 0.

iii, (u, v +w) = (u, v)+ (u, w)

iv. (u + v, w) = (u, w)+(v, w)

v. (u, v) = (v, u)

vi. (αu, v) = α(u, v)

vii. (u, αv) = α(u, v)

Espacios con producto interior:

El producto interior euclidiano es solo uno más de los productos internos que se tiene que definir en Rn Para distinguir entre el producto interno normal y otros posibles productos internos se usa la siguiente notación.

u ●v = producto punto (producto interior euclidiano para Rn)

‹u, v› = producto interno general para espacio vectorial V.

Propiedades de los productos interiores:

1. ‹0, v› = ‹v, 0› = 0

2. ‹u + v, w› = ‹u, w› + ‹v, w›

3. ‹u, cv› = c‹u, v›.

Un espacio vectorial con producto interno se denomina espacio con producto interno.

4.3 Combinacionlineal. Independencia lineal

Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por escalares.
Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros que tengan distinta dirección.
Esta combinación lineal es única.
Sean v₁,v₂,…,v_n vectores en un espacio vectorial V. Entonces cualquier vector de la forma:

α₁v₁+α₂v₂+…+α_nv_n

donde α₁v₁+α₂v₂+…+α_nv_n son escalares se denomina combinación lineal de v₁,v₂,…,v_n. 

Todo vector V = (a, b, c) en R³ se puede expresar como
i = (1,0,0); j = (0,1,0); k =(0,0,1)

V = (a, b, c) = a(i) + b(j) + c(k)

Entonces se dice que V es una combinación lineal de los 3 vectores i,j,k.

Criterios de Independencia Lineal

Sean u₁, u₂, …,u_k k vectores en R_n y A la matriz que tiene como columnas a estos vectores, los vectores son linealmente independientes si el sistema Ax = 0 tiene únicamente solución trivial.
Los vectores son linealmente dependientes si el sistema Ax=0 tiene soluciones no triviales (solución múltiple).

Si k=n
Los vectores son linealmente independientes si A es invertible

Si k>nLos vectores son linealmente dependientes.

Dos vectores en un espacio vectorial son linealmente dependientes si uno de ellos es múltiplo escalar del otro.

Un conjunto de vectores linealmente independientes en n contiene a lo más n vectores.

Tres vectores en 3 son linealmente dependientes si y sólo si son coplanares, esto es, que están en un mismo plano.