4.2 Definicion de subespacio vectorial y sus propiedades.

DEFINICION DE SUB ESPACIO VECTORIAL 

Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y suponga que H es en sí un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V. Entonces se dice que H es un sub espacio de V. 

Existen múltiples ejemplos de sub espacio, sin embargo, en primer lugar, se demostrará un resultado que hace relativamente sencillo determinar si un subconjunto de V es en realidad sub espacio de V

Teorema de sub espacio

Un subconjunto no vacio de H de un espacio vectorial V es un sub espacio de V si se cumplen las dos reglas de cerradura:

Reglas de cerradura para ver si un subconjunto no vació es un sub espacio

i)                  Si x € H y y € H, entonces x + y € H.

ii)               Si x € H, entonces αx € H para todo escalar α.

Es obvio que si H es un espacio vectorial, entonces las dos reglas de cerradura se deberán cumplir. De lo contrario, para demostrar que es un espacio vectorial, se deberá demostrar que los axiomas i) a x) de la definición cumplen bajo las operaciones de suma de vectores y multiplicación por un escalar definidas en V. Las dos operaciones de cerradura [axiomas i) y iv)] se cumplen por hipótesis, como los vectores en H son también vectores en V, las identidades asociativa, conmutativa, distributiva y multiplicativa [axiomas ii), v), vii), viii), ix) y x)] se cumplen.

Este teorema demuestra que para probar si H es o no es un sub espacio de V, es suficiente verificar que:

x + y y αX están en H cuando x y y  están en H y α es un escalar.

PROPIEDADES DE SUB ESPACIO VECTORIAL

1). El vector cero de Vestá en H.2

2). H es cerrado bajo la suma de vectores. Esto es, para cada u y v en   

      H, la suma u + v está en H. 

3). H es cerrado bajo la multiplicación por escalares. Esto es, para cada

     u en H y  cada escalar c, el vector cu está en H. 

4.1 Definicion de espacio vectorial

Espacio vectorial real.

Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos, denominados vectores, junto con dos operaciones binarias llamadas suma y multiplicación por un escalar y que satisfacen los diez axiomas enumerados a continuación.

Notación. Si “x” y “y” están en V  y si a es un número real, entonces la suma se escribe como

 “x + y” y el producto escalar de a y x como ax.

Antes de presentar la lista de las propiedades que satisfacen los vectores en un espacio vectorial deben mencionarse dos asuntos de importancia. En primer lugar, mientras que puede ser útil pensar en R² o R³  al manejar un espacio vectorial, con frecuencia ocurre que el espacio vectorial parece ser muy diferente a estos cómodos espacios (en breve tocaremos este tema). En segunda instancia, la definición 1 ofrece una definición de un espacio vectorial real. La palabra “real” significa que los escalares que se usan son números reales. Sería igualmente sencillo definir un espacio vectorial complejo utilizando números complejos en lugar de reales. Este libro está dedicado principalmente a espacios vectoriales reales, pero las generalizaciones a otros conjuntos de escalares presentan muy poca dificultad. [1]

Axiomas de un espacio vectorial. [1]

1-     Si X pertenece a V y Y pertenece a V, entonces X+Y pertenece a V.

2-      Para todo X, Y y Z en V, (x+y)+z = x(y+z).

3-     Existe un vector |0 pertenece V tal que para todo X pertenece a V, X+0=0+X=X.

4-     Si x pertenece a V, existe un vector –x en V tal que x+(-x)=0.

5-     Si X y Y están en V, entonces x+y=y+x.

6-     Si x pertenece a V y a es un escalar, entonces ax pertenece a V.

7-     Si X y Y están en V y a es un ecalar, entonces a(x+y)= ax + ay

8-     Si X pertenece a V y a y b son escalares, entonces (a+b) x= ax+ by.

9-     Si X pertenece a V y a y b son escalares, entonces a(bx) = (ab)x.

10-   Para cada vector X pertenece a V, 1x = x.

3.5 Aplicaciones

Una técnica muy conveniente utilizada en algunas tareas matemáticas es aquella conocida como fracciones idea principal consiste en cambiar la forma que puede ser expresado un cociente entre polinomios a otra forma más conveniente para cierto tipo de cálculo.

Ejemplo 4.1 Determine los valores de las constantes a y b para que satisfagan:

Solución

La forma más general de una cuadrática es: f (x) = a x2 + b x + c donde los coeficientes a, b, y c son constantes num´ericas. El problema consiste en determinar estos coeficientes. 

Así pues los parámetros a, b, y c se vuelven ahora las incógnitas. Y para poderlas determinar requerimos de ecuaciones o igualdades que deben satisfacer. Para determinar estas ecuaciones debemos usar los puntos.

Para que la función pase por el punto P (1, 4) se debe cumplir que f (x = 1) = 4, 

es decir, se debe cumplir: a (1)2 + b (1) + c = 4

es decir, se debe cumplir: a + b + c =4 

Procediendo de igual manera con el punto Q(−1, 2): formulamos la ecuación: a − b + c =2 y para R(2, 3): 4a + 2b + c = 3.

Resumiendo para que la función f (x) = a x2 + b x + c pase por los puntos P , Q, y R deben cumplirse las ecuaciones: 

a + b + c = 4

a − b + c = 2

4a + 2b + c = 3

La solución a este sistema es: a = 2/3, b = 1, y c =11/3

La misma situación presentada en el problema de las fracciones parciales que originaba un sistema inconsistente, se puede presentar en la determinación de funciones. Y la conclusión es similar: si el sistema originado es inconsistente lo que se concluye es que no existe una funci´on con esa forma general que pase exactamente por los puntos dados.

3.4 Metodos de solucion de un sistema de ecuaciones lineales :Gauss ,Gauss-jordan , inversa de una matriz y regla de cramer.

El Método de Gauss – Jordan o también llamado eliminación de Gauss – Jordan, es un método por el cual pueden resolverse sistemas de ecuaciones lineales con n números de variables, encontrar matrices y matrices inversas, en este caso desarrollaremos la primera aplicación mencionada.

Para resolver sistemas de ecuaciones lineales aplicando este método, se debe en primer lugar anotar los coeficientes de las variables del sistema de ecuaciones lineales en su notación matricial:

Entonces, anotando como matriz (también llamada matriz aumentada):

Una vez hecho esto, a continuación se procede a convertir dicha matriz en una matriz identidad, es decir una matriz equivalente a la original, la cual es de la forma:

• Sea el sistema de ecuaciones:

• Procedemos al primer paso para encontrar su solución, anotarlo en su forma matricial:

• Una vez hecho esto podemos empezar a operar con las distintas filas y columnas de la matriz para transformarla en su matriz identidad, teniendo siempre en cuenta la forma de la misma:

• Lo primero que debemos hacer es transformar el 2 de la 1ª fila de la matriz original en el 1 de la 1ª fila de la matriz identidad; para hacer esto debemos multiplicar toda la 1ª fila por el inverso de 2, es decir ½.

• Luego debemos obtener los dos ceros de la primera columna de la matriz identidad, para lograr esto, buscamos el opuesto de los números que se ubicaron por debajo del 1 de la primera columna, en este caso el opuesto de 3 que será -3 y el opuesto de 5 que será -5.

3.3 Interpretacion geometrica de las soluciones

Un sistema de ecuaciones diferenciales son aquellas que tienen varias posibilidades para su solución. Estas son:

1. Solución única: Sólo es posible obtener una solución única para un sistema de ecuaciones lineales intersectado en un único punto determinado, por lo tanto, el sistema de ecuaciones donde tenemos todas las rectas entrecruzándose en un solo punto, se denomina como la solución única del sistema de ecuaciones. Ese sistema de ecuaciones lineales es llamado sistema de ecuaciones lineales consistente independiente. Gráficamente se representa.

2. Sin solución: Es posible que un sistema de ecuaciones lineales no tenga solución cuando ningunas de sus rectas se intersectan entre sí ni siquiera en el infinito, ya que sólo el punto de intersección es la solución para el sistema de ecuaciones lineales Esto sólo puede ocurrir en el caso de las rectas paralelas, por lo tanto, para un sistema con este tipo de ecuación tenemos varias ecuaciones que corresponden a la misma recta y que sólo difieren por la pendiente. Dicho sistema se denomina sistema de ecuaciones lineales inconsistente independiente. Gráficamente podemos representarlo como.

3. Infinitas soluciones: Sólo en la situación que las rectas de determinado sistema se encuentren unas con otras en un punto infinito, podemos obtener soluciones infinitas. Esto sólo puede suceder si todas las rectas son la misma recta, ya que es en este escenario que se superpondrán unas con otras dándonos puntos infinitos de intersección, es decir, infinitas soluciones. Este sistema es llamado sistema de ecuaciones lineales consistente dependiente.

3.2 Clasificacion de los sistemas de ecuaciones lineales y tipos de solucion.

Una ecuación lineal es una ecuación algebraica que contiene variables cuyo máximo grado posible es uno. 

Tales ecuaciones se utilizan normalmente para definir líneas rectas. Cuando tenemos numerosas ecuaciones lineales, donde sus posibles soluciones nos dan un punto de solución, las llamamos como conjunto, sistema de ecuaciones lineales. 

Generalmente, un sistema de ecuaciones lineales se convierte en forma de matriz por conveniencia para su solución. Sea un sistema de ecuaciones lineales dado como,

                                    x + y – z = 1 3x – 2y + z = 3 4x + y – 2z = 9

A continuación se indica la forma matricial del sistema de la ecuación como,

                                          

3.1 Definicion de sistemas de ecuaciones lineales.

Una ecuación lineal es aquella que contiene variables de un sólo grado. Tal ecuación se representa con una recta en un papel cuadriculado. Una ecuación lineal que contiene n variables de la forma x1-, x¬2¬, x¬3¬ … x¬n¬ puede escribirse como,

Aquí b es un término constante y a¬1¬, a¬2¬, a¬3¬ … a¬n¬ son los coeficientes de las variables n. Por ejemplo, si tenemos la ecuación,

2x¬1¬ – x¬2¬ + 7x¬3¬ = 5

esta es una ecuación lineal de tres variables. Mientras que una ecuación

3x¬1¬x¬2¬ – 2x¬3¬2 = 1

no es una ecuación lineal. Esto significa que no podemos multiplicar dos variables juntas en una ecuación lineal. Cada variable está separada por las operaciones básicas de suma y resta operación, y tienen un término de coeficiente diferente, sin embargo el valor de los coeficientes de ambas variables viene ser el mismo.

Un sistema lineal, también llamado sistema de ecuaciones lineales es aquel que contiene varias ecuaciones lineales de manera tal que todos juntos producen un sistema significativo que nos da un punto de solución definitiva. Sin embargo, en ciertas situaciones no es posible conseguir ninguna solución o se obtienen varios puntos como solución. Podemos representar un sistema de ecuaciones lineales como, En resumen, podemos definir un sistema de ecuaciones lineales como un conjunto de n ecuaciones en m variables, donde el valor de n y m pueden ser iguales.