2.8 Inversa de una matriz cuadrada a traves de la adjunta.

la inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta repasaremos algunos conceptos:

Menor complementario de un elemento

El menor complementario de un elemento de una matriz cuadrada es el determinante de la matriz que obtenemos al suprimir su fila y su columna. Lo representamos por M_ij. 

Ejemplo: Hallar el menor complementario del elemento a₂₃ en la matriz : 

Adjunto de un elemento

Es el menor complemantario con signo positivo o negativo según sea par o impar la suma de su número de fila y su número de columna. Lo representamos por A_ij

adjunta

Es la matriz que se obtiene al sustituir cada elemento por su adjunto.

Matriz inversa

La matriz inversa de A es otra matriz que representamos por A^-1 y que verifica:

Propiedades de la matriz inversa 

La inversa del producto de dos matrices es el producto de las inversas cambiando el orden. 

(A*B)^-1 = B^-1*A^-1

Ejemplo: cálculo de la inversa de la matriz: 

Para calcular la inversa, primero calculamos el determinante: 

2.7 Propiedades de los determinantes

 Los Determinantes tienen una aplicación en casi todos los conceptos de las Matemáticas. El cálculo del determinante puede hacerse para los valores de las filas y las columnas de una matriz, con la ayuda de expresiones aritméticas. Las propiedades de los determinantes nos ayudan a simplificar el cálculo de los determinantes de cualquier orden, tomando el número máximo de ceros en una fila o una columna. De acuerdo con la primera propiedad de los determinantes, el valor de los determinantes se mantiene constante si sus filas y columnas son intercambiados. 

Ejemplo

Si se multiplican todos los elementos de una línea de una matriz cuadrada por un número, el determinante queda multiplicado por dicho número.

det (k·L1, L2, L3...) = k·det (L1, L2, L3...)

Ejemplo

Si A y B son dos matrices cuadradas del mismo orden, entonces se verifica:

det (A·B) = det (A) · det (B)

Ejemplo

Si permutamos dos líneas paralelas de una matriz cuadrada, su determinante cambia de signo con respecto al inicial:

det (L1, L2, L3...) = -det (L2, L1, L3...)

Ejemplo

Si una matriz cuadrada tiene una línea con todos los elementos nulos, su determinante vale cero.

det (0, L2, L3...) = 0

Ejemplo

Si una matriz cuadrada tiene dos líneas paralelas iguales, su determinante vale cero.

det (L1, L1, L3...) = 0

Ejemplo

Si dos líneas paralelas de una matriz cuadrada son proporcionales, su determinante se anula.

det (L1, k·L1, L3...) = 0

Ejemplo

Si una fila (columna) de una matriz cuadrada es combinación lineal de las restantes filas (columnas), su determinante vale cero.

det (L1, L2, a·L1 + b·L2...) = 0

2.6 Definicion de determinante de una matriz

de una matriz

El Determinante de una matriz puede considerarse como las características escalares de una matriz determinada el cual es el volumen limitado por los vectores de matrices filas. La condición previa para la existencia del determinante de la matriz es que la matriz sea una matriz cuadrada. Con la ayuda del determinante se prueba si existe o no el inverso de la matriz particular.

| A | es el símbolo con el cual se representa el determinante de la matriz. La dimensión de la matriz juega un papel esencial en la búsqueda del valor del determinante. Por ejemplo:

para una matriz cuadrada , el determinante puede encontrarse por:

| A | =  = ad – bc

Existen algunas propiedades esenciales de los determinantes que son dignas de consideración:

1). En caso de que las dos filas de un determinante sean iguales o, en otras palabras, una fila puede expresarse como la combinación lineal de dos filas, entonces |A| = 0. En el caso de las columnas es similar.

2). Cuando |A| = 0, entonces en este caso la matriz no puede ser invertida.

3). | A | = | A |T

4). | AB | = | A |.| B | = |BA| . Sin embargo, tanto A como B deben ser matrices cuadradas.

5). El determinante de la matriz triangular es el producto de los valores de la diagonales del triángulo.

6). Intercambiar las filas de la matriz conduce a la negación de su valor final. Esto es,

En general, para una matriz n x n, el determinante puede calcularse como:

ai1Ci1 + ai2Ci2 + • • • + ainCin

Aqui Cij es el cofactor y puede calcularse como

Cij = (−1) i+j det Mij

Mij es la matriz menor y puede obtenerse eliminando la fila ith y la columna jth de la matriz.

2.5 calculo de la inversa de una matriz

Calculando el inverso de una matriz

La matriz forma una parte esencial, no sólo de las matemáticas, sino también de la vida, en el caso de un ingeniero u otra persona que se haya asociado con las matemáticas. Encontrar el inverso de una matriz constituye una parte crucial en el concepto de matriz. Una matriz sin su inverso no está completa. El inverso de una matriz puede definirse como: Dado una matriz n × n elemental E, uno puede observar fácilmente que existe una matriz elemental F tal que F E = In. Reflexionando un poco se concluirás que EF = In . Realizando una operación de fila y luego deshaciéndola produce el mismo resultado que deshacerla primero y realizarla después. De cualquier manera estás de nuevo en el punto de partida. Este concepto se denomina inverso de una matriz.

En otras palabras, imaginemos dos n × n matrices A y B , estas tienen la propiedad AB = BA = In. . Entonces decimos que A es un inverso de B (y B es un inverso de A). Se dice que una matriz con inverso es invertible. Además, el inverso de una matriz siempre es único.

Imagina que que A Rn×n o A (F2) n×n y A tiene un inverso B. Entonces B es único. Comprobemos este hecho. Imagina que A tiene dos inversos B y C. Entonces,

B = BIn = B (AC) = (BA) C = InC = C.

En consecuencia B = C, por lo que el inverso es único. El inverso de A siempre se denota como A-1, con la condición de su existencia.

Por ejemplo, los inversos de las matrices elementales 2 × 2 son los siguientes:

Tenemos dos formas de encontrar el inversa de una matriz, tal que BA = In. La primera es simplemente multiplicar la secuencia de matrices elementales, lo cual reduce la fila A. Esto no es tan malo como parece, ya que la multiplicación de matrices elementales es esencial. El segundo método consiste en formar la matriz aumentada (A | In) y la fila reducirá. El resultado final será de la forma (In | B).

Veamos un ejemplo para entender mejor el concepto. Imaginemos que queremos encontrar una relación inversa para:

A =  

Dado que sólo tenemos que resolver la ecuación matricial XA = I3, podemos reducir la fila (A | I3).

Entonces, por construcción BA = I3.

Existe una tercera técnica menos evidente la cual a veces también es útil. Si formamos la matriz de coeficiente aumentada (A | b), donde b representa el vector columna con los componentes b1, b2 . . . b m y efectuando la reducción de filas de esta matriz aumentada, el resultado será en la forma (In | c), donde los componentes de c son combinaciones lineales de los componentes de b. Los coeficientes de estas combinaciones lineales nos dan las entradas de A-1.

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2.4 Transformaciones elementales por renglon , escalonamiento de una matriz y rango de una matriz.

TRANSFORMACIONES ELEMENTALES DE RENGLÓN.

En sistemas de ecuaciones lineales podemos realizar los siguientes operaciones.

1.   Intercambiar una ecuación por otra

2.   Multiplicar una ecuación por una constante no nula

3.   Sumar dos ecuaciones (o restar)

4.   Multiplicar una ecuación por una constante y el producto sumarlo

      a otra   de las ecuaciones.

Estas operaciones hechas con las ecuaciones son con el objetivo de formar “Sistemas Equivalentes” al sistema dado que tiene la misma solución que el sistema original y cuya solución sea mas fácil de obtener.

Las mismas operaciones hechas a las “Ecuaciones” se pueden realizar en las matrices sobre los “Renglones” siendo conocidas con el nombre de transformaciones elementales de renglón de una matriz y son los siguientes.

TRANSFORMACIONES ELEMENTALES DE RENGLÓN

1.       Intercambio de dos renglones

2.       Multiplicación de todos los elementos de un renglón por una constante distinta de cero

3.       Multiplicación de un renglón por una constante no nula y el producto sumarlo al correspondiente elemento de cualquier otro renglón.

La idea que se persigue con las transformaciones elementales es convertir una matriz concreta en

otra matriz mas facil de estudiar. En concreto, siempre sera posible conseguir una matriz escalonada, 

en el sentido que definimos a continuacion. Sea A una matriz y F una fila de A. Diremos que F es nula si todos los numeros de  F coinciden

con el cero. Si F es no nula, llamamos PIVOTE de F al primer numero distinto de cero  de  F contando de izquierda a derecha.

Una MATRIZ ESCALONADA es aquella que verifica las siguientes propiedades: 

1. Todas las filas nulas (caso de existir) se encuentran en la parte inferior de la matriz.

2. El pivote de cada fila no nula se encuentra estrictamente mas a la derecha que el pivote de la fila de encima.

Por ejemplo, entre las matrices:

A =   1 0 0             B= 1 4 3       C= 1 0 -3

        0 1 0                 0 1 8            0 1  4

        0 1 7                                     0 0 0

A no es escalonada, mientras que B y C sı lo son.

Dada una matriz escalonada E se define el RANGO de E, que representamos por rg(E), como el nnumero de filas no nulas de E.

En los ejemplos B y C de arriba se tiene rg(B) = rg(C) = 2, sin embargo no podemos decir que rg(A) = 3 ya que A no esta escalonada. Otro ejemplo, las matrices nulas tienen rango cero y la matriz identidad de orden n cumple rg(In) = n.

La siguiente cuestion que abordaremos es la definicion de rango para una matriz cualquiera que no este escalonada. La idea ser la la de transformar la matriz dada en otra que sea escalonada mediante

Si A es cualquier matriz, entonces una SUB MATRIZ de A es cualquier matriz S obtenida al eliminar

de A algunas de sus filas y columnas. Por ejemplo, la matriz Ai j obtenida al suprimir la i-esima fila y la j-esima columna es una submatriz de  A. Notese que aunque A no sea cuadrada contiene gran cantidad

de submatrices que sı lo son y a las que tiene por tanto sentido calcularles su determinante.

2.3 clasificacion de las matrices

Matriz fila

Una matriz fila está constituida por una sola fila.

Matriz columna

La matriz columna tiene una sola columna

Matriz rectangular

La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.

Matriz cuadrada

La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.

        

        Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.

        

        La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1.

Matriz nula

En una matriz nula todos los elementos son ceros.

Matriz triangular superior

En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

Matriz triangular inferior

En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

Matriz diagonal

En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.

Matriz escalar

Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

Matriz identidad o unidad

Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

Matriz traspuesta

Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas

2.2 Operaciones con matrices

SUMA:

Propiedades

-Asociativa
Dadas las matrices m×n A, B y C
(A + B) + C = A + (B + C)

-Conmutativa
Dadas las matrices m×n A y B
A + B = B + A

-Existencia de matriz cero o matriz nula
A + 0 = 0 + A = A

PRODUCTO POR UN ESCALAR:

Dada una matriz A y un escalar c, su producto cA se calcula multiplicando el escalar por cada elemento de A

Propiedades

Sean A y B matrices y c y d escalares.

-Clausura: Si A es matriz y c es escalar, entonces cA es matriz.

-Asociatividad: (cd)A = c(dA)

-Elemento Neutro: 1·A = A

-Distributividad:

    -De escalar: c(A+B) = cA+cB

    -De matriz: (c+d)A = cA+dA

PRODUCTO DE DOS MATRICES:El producto de dos matrices se puede definir sólo si el número de columnas de la matriz izquierda es el mismo que el número de filas de la matriz derecha. Si A es una matriz m×n y B es una matriz n×p, entonces su producto matricial AB es la matriz m×p (m filas, pcolumnas).

Por ejemplo:

Propiedades

Si los elementos de la matriz pertenecen a un cuerpo, y puede definirse el producto, el producto de matrices tiene las siguientes propiedades:

-Propiedad asociativa: (AB)C = A(BC).

-Propiedad distributiva por la derecha: (A + B)C = AC + BC.

-Propiedad distributiva por la izquierda: C(A + B) = CA + CB.

-En general, el producto de matrices tiene divisores de cero: Si A.B = 0 , No necesariamente A ó B son matrices nulas

-El producto de matrices no verifica la propiedad de simplificación: Si A.B = A.C, No necesariamente B=C.

-El producto de dos matrices generalmente no es conmutativo, es decir, AB ≠ BA. La división entre matrices, es decir, la operación que podría producir el cociente A / B, no se encuentra definida. Sin embargo, existe el concepto de matriz inversa, sólo aplicable a las matrices invertibles.

Si A es una matriz m x r y B es una matriz r x n, entonces el producto AB es la matriz m x n cuyos elementos se determinan como sigue. Para encontrar el elemento en el renglón "i" y en la columna "j" de AB, considerar solo el renglón "i" de la matriz A y la columna "j" de la matriz B. Multiplicar entre si los elementos correspondientes del renglón y de la columna mencionados y luego sumar los productos restantes.

Ejemplo:

Como A es una matriz 2 x 3 y B es una matriz 3 x 4, el producto AB es una matriz 2 x 4. Para determinar, por ejemplo, el elemento en el renglón 2 y en la columna 3 de AB, solo se consideran el renglón 2 de A y la columna 3 de B. Luego, como se ilustra a continuación, los elementos correspondientes (en tipo negro) se multiplican entre si y se suman los productos obtenidos.

    (2*4) + (6*3) + (0*5) = 26

y así obtenemos el siguiente resultado:

(1*4) + (2*0) + (4*2) = 12

(1*1) + (2*1) + (4*7) = 27

(1*4) + (2*3) + (4*5) = 30

(1*3) + (2*1) + (4*2) = 13                            

(2*4) + (6*0) + (0*2) = 8

(2*1) + (6*1) + (0*7) = -4

(2*3) + (6*1) + (0*2) = 12